SPFA算法求最短路径
时间:2014-02-22 09:21:19
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SPFA算法求最短路径
题目描述:
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给你n个点,m条无向边,每条边都有长度d和花费p,给你起点s终点t,要求输出起点到终点的最短距离及其花费,如果最短距离有多条路线,则输出花费最少的。
- 输入:
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输入n,m,点的编号是1~n,然后是m行,每行4个数 a,b,d,p,表示a和b之间有一条边,且其长度为d,花费为p。最后一行是两个数 s,t;起点s,终点t。n和m为0时输入结束。
(1<n<=1000, 0<m<100000, s != t)
- 输出:
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输出 一行有两个数, 最短距离及其花费。
- 样例输入:
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3 2 1 2 5 6 2 3 4 5 1 3 0 0
SPFA算法:求单源最短路的SPFA算法的全称是:Shortest Path Faster Algorithm。SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的.从名字我们就可以看出,这种算法在效率上一定有过人之处。很多时候,给定的图存在负权边,这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地,而Bellman-Ford算法的复杂度又过高,SPFA算法便派上用场了。简洁起见,我们约定有向加权图G不存在负权回路,即最短路径一定存在。当然,我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序,以判断是否存在负权回路,但这不是我们讨论的重点。我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值,而且用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法:设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点u,并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止。定理: 只要最短路径存在,上述SPFA算法必定能求出最小值。证明:每次将点放入队尾,都是经过松弛操作达到的。换言之,每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路,所以每个结点都有最短路径值。因此,算法不会无限执行下去,随着d值的逐渐变小,直到到达最短路径值时,算法结束,这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。(证毕)期望的时间复杂度O(ke), 其中k为所有顶点进队的平均次数,可以证明k一般小于等于2。实现方法:建立一个队列,初始时队列里只有起始点,在建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径(该表格的初始值要赋为极大值,该点到他本身的路径赋为0)。然后执行松弛操作,用队列里有的点去刷新起始点到所有点的最短路,如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空判断有无负环:如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)(“算法编程后实际运算情况表明m一般没有超过2n.事实上顶点入队次数m是一个不容易事先分析出来的数,但它确是一个随图的不同而略有不同的常数.所谓常数,就是与e无关,与n也无关,仅与边的权值分布有关.一旦图确定,权值确定,原点确定,m就是一个确定的常数.所以SPFA算法复杂度为O(e)(证毕)[1]”——SPFA的论文事实上这个证明是非常不严谨甚至错误的,事实上在bellman算法的论文中已有这方面的内容,所以国际上一般不承认SPFA算法)(摘自百度百科)AC代码:#include<cstdio> #include<vector> #include<queue> #define MAX 1010 #define INF 0x0FFFFFFF using namespace std; typedef struct Node { int adjvertex; int len; int cost; }Node; int visited[MAX]; int distances[MAX]; int costs[MAX]; vector<Node> map[MAX]; void SPFA(int start,int n) { int i,j; queue<int> q; q.push(start); for(i=1;i<=n;i++) { distances[i]=costs[i]=INF; visited[i]=0; } distances[start]=costs[start]=0; while(!q.empty()) { int index; index=q.front(); q.pop(); visited[index]=1; for(i=0;i<map[index].size();i++) { int t=map[index][i].adjvertex; int dis=map[index][i].len; int cost=map[index][i].cost; if(distances[t]==INF||distances[t]>distances[index]+dis) { distances[t]=distances[index]+dis; costs[t]=costs[index]+cost; if(!visited[t]) { q.push(t); visited[t]=1;//剪枝作用 } } else if(distances[t]==distances[index]+dis) { if(costs[t]>costs[index]+cost) { costs[t]=costs[index]+cost; if(!visited[t]) { q.push(t); visited[t]=1; } } } } } } int main(int argc,char *argv[]) { int i,n,m; int start,end; while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n&&m) { for(i=0;i<MAX;i++) map[i].clear(); for(i=0;i<m;i++) { Node p,q; int index; scanf("%d",&index); scanf("%d%d%d",&(p.adjvertex),&(p.len),&(p.cost)); map[index].push_back(p); q.adjvertex=index; q.len=p.len; q.cost=p.cost; map[p.adjvertex].push_back(q); } scanf("%d%d",&start,&end); SPFA(start,n); printf("%d %d\n",distances[end],costs[end]); } return 0; }
Dijkstra算法也可以解决:#include<cstdio> #include<vector> #define MAX 1010 #define INF 0x0FFFFFFF using namespace std; typedef struct Node { int adjvertex; int len; int cost; }Node; int visited[MAX]; int distances[MAX]; int costs[MAX]; vector<Node> map[MAX]; void Dijkstra(int start,int n) { int i,j,k,t; int dis,cost; int min=INF,t_cost; for(i=1;i<=n;i++) { distances[i]=INF; costs[i]=0; visited[i]=0; } for(i=0;i<map[start].size();i++) { int index; index=map[start][i].adjvertex; distances[index]=map[start][i].len; costs[index]=map[start][i].cost; } distances[start]=0; visited[start]=1; for(i=1;i<n;i++) { min=INF; for(j=1;j<=n;j++) { if(!visited[j]&&distances[j]<min) { k=j; min=distances[j]; t_cost=costs[j]; } } visited[k]=1; for(j=1;j<=n;j++) { for(t=0;t<map[k].size();t++) { if(map[k][t].adjvertex!=j) continue; else break; } if(t!=map[k].size()) { dis=map[k][t].len; cost=map[k][t].cost; } else { dis=INF; cost=INF; } if(!visited[j]&&distances[j]>dis+min) { distances[j]=dis+min; costs[j]=t_cost+cost; } else if(!visited[j]&&distances[j]==dis+min&&costs[j]>cost+t_cost) { distances[j]=dis+min; costs[j]=t_cost+cost; } } } } int main(int argc,char *argv[]) { int i,n,m; int start,end; while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n&&m) { for(i=0;i<MAX;i++) map[i].clear(); for(i=0;i<m;i++) { Node p,q; int index; scanf("%d",&index); scanf("%d%d%d",&(p.adjvertex),&(p.len),&(p.cost)); map[index].push_back(p); q.adjvertex=index; q.len=p.len; q.cost=p.cost; map[p.adjvertex].push_back(q); } scanf("%d%d",&start,&end); Dijkstra(start,n); printf("%d %d\n",distances[end],costs[end]); } return 0; }
用二维数组解决Dijkstra问题会比较方便,用STL使程序看起来略显繁琐,算了,不想再优化了,就这样吧。。。
原文:http://blog.csdn.net/cstopcoder/article/details/19625455
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