习题解答——姜启源《数学模型》

时间：2020-07-24 21:45:12 收藏：0 阅读：287

1 建立数学模型
- 1.3 包饺子
2 初等模型
- 2.2 滑艇比赛的成绩
  - 复习题
    - 考虑艇重
    - 不考虑艇重

1 建立数学模型

1.3 包饺子

复习题二
- 假设饺子越大面皮越厚，并且成正比例关系，即
  
  \[\begin{align*} SH &= n(sh) \H &= a h \end{align*} \]
  由此可以得到大饺子和小饺子的面皮面积满足
  
  \[S = \frac{n}{a}s \]
  根据教材中的中间结论
  
  \[\begin{align*} V &= kS^{\frac{3}{2}},& v =ks^{\frac{3}{2}} \end{align*} \]
  可以得到饺子馅体积的关系满足
  
  \[V = (\frac{n}{a})^{\frac{3}{2}}v = \sqrt{\frac{n}{a^3}}(nv) \]
  显然，在这个新的 $V-nv$ 关系中，“饺子数量减少一倍能多包多少馅”的回答是与厚度变化系数$a$相关的：
  1. 当$a = \sqrt[3]{2} \approx 1.26$时，能包的馅数量不变；
  2. 当$a > 1.26$时，能包的馅变少；
  3. 当$a<1.26$时，能包的馅增加。
  可以发现，厚度变化系数 $a$ 存在一个临界值 $\sqrt[3]{n}$ ，当它大于临界值时，能包的馅反而少了，反之则会更多。为了更好地观察这一临界值的变化，我们可以作出饺子数量变化倍数$n$与$a$临界值的关系图：

2 初等模型

2.2 滑艇比赛的成绩

复习题

考虑八人艇分重量组（桨手体重不超过86 kg）个轻量级组（桨手体重不超过73 kg），建立模型说明重量组的成绩比轻量组的大约好 5%.

考虑艇重

使用与书中相同的假设。

根据桨手输出的功率与阻力 $f$ 和速度 $v$ 的乘积成正比，有

\[\begin{equation} np \propto fv \label{2.2.1} \end{equation} \]

根据假设2，3，可得

\[\begin{align} f &\propto sv^2 &p \propto w \end{align} \]

代入$\eqref{2.2.1}$式，可得

\[\begin{equation} v \propto (\frac{nw}{s})^\frac{1}{3} \label{2.2.3} \end{equation} \]

教材中已经得到浸没面积 $s$ 与艇手数 $n$ 的关系

\[\begin{equation} s \propto n^\frac{2}{3} \label{2.2.2} \end{equation} \]

加入艇手体重和艇重，式$\eqref{2.2.2}$进一步写为

\[s \propto (kn+nw)^\frac{2}{3} \]

其中，$k$ 是艇重与艇手数的比例系数.

代入$\eqref{2.2.3}$式，并考虑到同为八人艇，消去 $ n$，可以得到速度与艇手重量 $w$ 的关系

\[v \propto \frac{w^\frac{1}{3}}{(w+k)^\frac{2}{9}} \]

因为比赛成绩 $t$ 与 $v$ 成反比，所以

\[\begin{equation} t \propto \frac{(w+k)^\frac{2}{9}}{w^\frac{1}{3}}\propto(\frac{1}{w}+\frac{2k}{w^2}+\frac{k^2}{w^3})^\frac{1}{9} \label{2.2.4} \end{equation} \]

由表1中最后一列的数据可知，对于八人艇，$w_0=14.7n$，即$k=14.7$. 代入$\eqref{2.2.4}$式，可得

\[t \propto(\frac{1}{w}+\frac{29.4}{w^2}+\frac{216.09}{w^3})^\frac{1}{9} \]

最终，可以得到重量组和轻量组的相对成绩差为

\[\delta = \frac{t_{73}-t_{86}}{t_{73}} \approx 2.4\% \]

不考虑艇重

使用与书中相同的假设。

根据桨手输出的功率与阻力 $f$ 和速度 $v$ 的乘积成正比，有

\[\begin{equation} np \propto fv \label{2.2.5} \end{equation} \]

根据假设2，3，可得

\[\begin{align} f &\propto sv^2 &p \propto w \end{align} \]

代入$\eqref{2.2.5}$式，可得

\[\begin{equation} v \propto (\frac{nw}{s})^\frac{1}{3} \end{equation} \label{2.2.7} \]

教材中已经得到浸没面积 $s$ 与艇手数 $n$ 的关系

\[\begin{equation} s \propto n^\frac{2}{3} \end{equation} \label{2.2.6} \]

加入艇手体重和艇重，$\eqref{2.2.6}$式进一步写为

\[s \propto (nw)^\frac{2}{3} \]

代入$\eqref{2.2.7}$式，并考虑到同为八人艇，消去 $ n$，可以得到速度与艇手重量 $w$ 的关系

\[v \propto w^\frac{1}{9} \]

因为比赛成绩 $t$ 与 $v$ 成反比，所以

\[t \propto w^{-\frac{1}{9}} \]

最终，可以得到重量组和轻量组的相对成绩差为

\[\delta = \frac{73^{-\frac{1}{9}} - 86^{-\frac{1}{9}}}{73^{-\frac{1}{9}}} \approx 1.8 \% \]

原文：https://www.cnblogs.com/zxlzxl/p/13373180.html